티백에게는 참으로 안타까운 일이지만, 티백이 살아남을 확률은 여전히 1/3입니다.

발생할 수 있는 사건의 가짓수는 다음 여섯가지 입니다. 각각 1/6의 확률로 발생

• 1) 티백이 살게 되고, 간수는 "스코필드가 죽는다"고 대답
• 2) 티백이 살게 되고, 간수는 "버로우스가 죽는다"고 대답
• 3) 버로우스가 살게 되고, 간수는 "스코필드가 죽는다"고 대답
• 4) 버로우스가 살게 되고, 간수는 "티백이 죽는다"고...대답을 차마 할 수 없어서 "스코필드가 죽는다"고 대답
• 5) 스코필드가 살게 되고, 간수는 "버로우스가 죽는다"고 대답
• 6) 스코필드가 살게 되고, 간수는 "티백이 죽는다"고...대답을 차마 할 수 없어서 "버로우스가 죽는다"고 대답

즉, "스코필드가 죽는다"는 답을 들었다면, 해당되는 경우는 1), 3), 4) 세 가지. 그 중에 티백이 사는 경우는 1) 한 가지, 죽는 경우는 3), 4) 두 가지. 따라서 살 확률은 1/3

위의 3)과4), 5)와6)은 간수가 같은 대답을 하는데, 이걸 합쳐서 한 가지의 경우로 생각하게 되면 함정에 빠지는 거죠.

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단 한번 발생하는 사형이라서 더욱 헷갈릴 수 있는데, 여러번 반복되는 경우로 바꿔볼 수도 있습니다.

• 900일 동안, 매일 세 명의 죄수 중 두 명에게 곤장을 때린다 (-_-;)
• 매일 아침 주지사가 주사위를 던져서 세 명 중 곤장을 면할 사람을 한 명 뽑고, 간수에게 알려준다.
• 티백은 매일 아침마다 "간수님 저 오늘 곤장 맞나요?ㅠ,.ㅠ"라고 묻는다
• 간수는 티백을 제외한 두 죄수 중에 곤장을 맞을 사람 한 명의 이름을 알려준다. 만약 둘 다 맞을 거라면 동전을 던져서 둘 중 한 명을 선택해서 그 이름을 알려준다.

이러면 총 900일 중에서... (물론 현실에서는 확률에 딱 맞춰 300일씩 나눠지지는 않겠습니다만)

• 300일은 티백이 곤장을 면할 텐데
  • 그 중 150일은 "스코필드가 맞는다"라는 대답을 들을 것이고 -- (1)
  • 그 중 150일은 "버로우스가 맞는다"라는 대답을 듣겠죠
• 300일은 버로우스가 곤장을 면할 텐데
  • 이 300일 전부 "스코필드가 맞는다"라는 대답을 들을 겁니다. -- (2)
• 나머지 300일은 스코필드가 곤장을 면할 것이고
  • 이 300일 동안에는 "버로우스가 맞는다"라는 대답을 듣겠죠.

"스코필드가 맞는다"라는 대답은 (1)과 (2) 도합 450일 동안 들을 것이고, 그 중 티백이 곤장을 면하는 날은 150일, 즉 전체의 1/3밖에 되지 않습니다.

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몬티홀 문제, /퍼즐-바꿀까말까와의 관계는...

저기 클리앙 게시물에서 주인장과 몇몇이 리플로 의견을 주고받을 때는, "몬티홀과는 다르다"라고 결론을 내렸는데, 아무래도 같다고 생각하는 게 맞네요.

• 문 세 개에 세 죄수의 이름을 쓴 후에, 누가 살아남을 지 맞추는 문제
• 티백은 자신의 이름이 쓰여진 문을 처음에 선택
• 간수는 "스코필드"문을 열어서 여기에는 상품이 없음(즉 살 수 없음)을 알려 줌
• "티백" 문 뒤에 상품이 있을 확률, 즉 티백이 살 확률은? 여전히 1/3

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여기까지 쭉 생각해놨는데, 방금 쓱 살펴보니 아니나 다를까 위키피디아에 떡하니 있군요. :-)

• Three_Prisoners_problem
  • 조건부 확률 공식을 사용하여 푼 부분을 빼고 나면, 위에 적은 설명 그대롭니다. 사형 대신 "매일 반복되는 고문"으로 바꾸어 생각한 것까지도 나와 있네요.
  • 몬티홀 문제와는 "mathematically equivalent", "수학적으로 동등"하다고 하네요. 역시 같은 문제인 게 맞습니다. 제일 마지막에 티백에게 "버로우스와 너의 운명을 바꿀 수 있는 기회를 줄게, 바꿀래?"라고 묻고 티백이 자신의 운명을 그대로 받아들일지 버로우스의 운명과 서로 바꿀지를 결정하게 한다면, 몬티홀에서 도전자가 자신의 선택을 바꿀 기회를 얻는 부분과 똑같아진다...고도 적혀 있네요.