바꾸는 것이 바꾸지 않는 것보다 두 배 유리합니다.

어차피 문이 두 개 남았으니 확률은 반반, 바꾸나 안 바꾸나 똑같다고 생각하셨나요? :-)

1. 가장 직관적으로,

• "바꾸지 않았더니 승용차더라"가 되려면, "처음에 승용차를 골랐어야"하고, 이 확률은 3분의 1
• "바꿨더니 승용차더라"가 되려면, "처음에 염소를 골랐어야"하고, 이 확률은 3분의 2

2. 문제를 극단적으로 바꿔서,

• 문이 10000개 있습니다. 내가 1번 문을 골랐습니다. 사회자가 2번부터 10000번까지 9999개의 문 중에 딱 하나, (예를 들어) 3275번 문을 제외한 나머지 9998개의 문을 열어서 제게 보여줬습니다. 이 상황에서 1번을 고집하는 게 나을까요 3275번 문을 택하는게 나을까요? :-) 1번 문에 차가 있을 확률은 만분의1, 2~10000번 문들 중에 차가 있을 확률은 만분의9999. 이 때 다른 문이 전부 열렸으니 3275번 문에 차가 있을 확률이 만분의9999가 되는 겁니다.

3. 문 세 개 중에, "이 문 뒤에 차가 있다"와 "이 문을 제외하고 나머지 두 개의 문 중 하나 뒤에 차가 있다" 중에 하나를 택하라면 당연히 후자를 택하겠죠. 처음에 어떤 문을 택하던지 그것은 전자에 해당됩니다. 그리고 사회자가 염소를 보여준 후에 문을 바꾸는 것이 후자를 택하는 방법입니다.

4. 경우의 수로 나타내면 다음과 같습니다.

 1) 내가 차를 골랐다
   1-1) 바꿨다 - 실패
   1-2) 안 바꿨다 - 성공
 2) 내가 염소A를 골랐다 (여기서 "염소를 골랐다"라고 하면 잘못입니다)
   2-1) 바꿨다 - 성공
   2-2) 안 바꿨다 - 실패
 3) 내가 염소B를 골랐다
   3-1) 바꿨다 - 성공
   3-2) 안 바꿨다 - 실패

위 여섯가지 경우에서 "바꿔서 성공"이 두 가지, "안 바꿔서 성공"이 한 가지입니다. 바꾸는 게 낫습니다.

4'. 4의 경우의 수에서, 너무 깊이 생각하면 다음과 같은 함정에 빠지게 됩니다.

 1) 내가 차를 골랐다
  1-1) 사회자가 염소A를 보여줬다
   1-1-1) 바꿨다 - 실패
   1-1-2) 안 바꿨다 - 성공
  1-2) 사회자가 염소B를 보여줬다
   1-2-1) 바꿨다 - 실패
   1-2-2) 안 바꿨다 - 성공
 2)와 3)은 위와 동일

이렇게 해서 "총 여덟가지 경우"를 상정하게 되면 "바꿔서 성공"이 두 가지, "안 바꿔서 성공"이 두 가지가 나와서 동일한 확률이라고 생각하게 됩니다. 그렇지만 사회자가 "염소A"를 보여주는 것과 "염소B"를 보여주는 것은 "1) 내가 차를 골랐을 때"만 분기할 수 있는 것이기 때문에 2)와 3)에 있는 경우와 동일하게 취급할 수 없습니다.

이 문제(Monty Hall Problem 이라 불립니다)가 처음 나왔을때, "바꾸는 게 유리하다"라는 답을 도저히 수긍하지 못해서 수많은 사람들이 항의를 했다고 합니다. 그 중에 수학자들도 있었다고 하네요. ^^; 저도 처음 이 문제를 봤을 때는 똑같다고 대답했습니다. -.-;

참조할 만한 사이트

• http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml - 여기에 보면 중간에 시뮬레이션도 있네요. 셋 중에 하나를 고르고 나면 결과를 알려줍니다. 50번 정도만 반복해보면 바꾸는 게 이득인 경우가 그렇지 않은 경우보다 두 배 가량 더 많이 나타나는 것을 볼 수 있습니다.
• Monty_Hall_problem - 중간에 "Aids to understanding" 항목에 있는 그림
• - 여기에 제가 적은 해설과 코드는 이 책에 있는 내용을 약간 수정해서 올린 겁니다.

문제의 상황을 그대로 재현한 코드입니다. 재현을 50번 정도만 반복해도 선택을 바꿔야 하는 경우가 바꾸지 않아야 하는 경우보다 많게 나오고, 1000번 정도 또는 그 이상 반복하면 그 차이가 거의 정확히 두 배가 됨을 알 수 있습니다.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <sys/types.h>
#include <unistd.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
    int car, first, new, oper, change = 0, unchange = 0;
    unsigned int m, c;
    srand(getpid()*time(NULL));

    /* 사용법:
       car 숫자
       숫자는 반복할 횟수
       */
    if (argc == 1) {
        printf("Usage: car number\n");
        return 1;
    }
    m = atoi(argv[1]);

    for (c = 0; c < m; c++) {
        /* 0번, 1번, 2번 이렇게 문이 세개 있을 때 */

        /* 실제 차가 있는 문 - 랜덤하게 결정 */
        car = (int)(3.0 * rand()/(RAND_MAX+1.0));

        /* 내가 선택한 문 - 랜덤하게 결정 */
        first = (int)(3.0 * rand()/(RAND_MAX+1.0));

        /* 사회자가 열어주는 문 - 차가 없고, 내가 선택하지 않은 문 */
        for( ; ; ) {
            oper = (int)(3.0 * rand()/(RAND_MAX+1.0));
            if (oper != car && oper != first)
                break;
        }

        /* 바꾸게 될 경우 택하게 되는 문 - first 와 oper 외의 나머지 하나 */
        new = 3 - oper - first;

        if (car == first) unchange++;   /* 처음 고른 곳에 차가 있는 경우 */
        else if (car == new) change++;  /* 바꾼 곳에 차가 있는 경우 */
    }

    printf("Changed: %d\nUnchanged: %d\n", change, unchange);
}

실행 결과 캡춰: