3 번째 수정본 소스 보기 : Diary/퍼즐-세명의죄수

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== [[/퍼즐-세명의죄수]] ==

잊을 만 하면 한 번씩 커뮤니티 게시판에 올라오는 몬티홀 문제([[/퍼즐-바꿀까말까]])가 며칠 전에 클리앙에 올라왔었습니다. (매우 놀라왔던 것은 이번에는 '극렬한 저항'이 없었다는 점 ^^;) 그리고 그 뒤를 이어 어떤 분이 비슷해 보이는 문제를 냈는데 이게 또 재밌더군요.

* [http://clien.career.co.kr/zboard/view.php?id=free&no=690297 클리앙 게시물] - 본문에는 문제가, 리플에는 여러 사람들의 의견과 답 등이 있음

게시물에 있던 문제 본문을 그대로 인용하면:
<blockquote>
미국의 감옥에 스코필드, 버로우스, 티백<footnote(왜 하필 이 이름들을 골랐을까 싶었는데, "프리즌 브레이크"에 나오는 인물들인가 보군요)>이 사형선고를 받고 갇혔습니다.

사형집행일이 세명모두 정해지지 않은체 사형선고만 받았습니다.


어느날 주지사는 사형집행일을 정합니다. 

이와 동시에 세명중 한명에게 사형면죄부를 줬습니다!

그리고 누가 면죄를 받았는지는 감옥의 간수에게만 알려주고

간수에게 반드시 ' 비밀 ' 을 지키라고 이야기합니다.

(여기서 비밀은 절대적 침묵이아니라, 사형수가 자기가 죽을확률에 변화를
느끼지 못하도록 하는 비밀을 의미합니다.)


사형집행일 전날밤. 두려움에 떨던 티백은 참지못하고 간수에게 물어봅니다.

" 저는 살아요 죽어요? ㅠㅠ "

간수는 고민에 빠집니다. 왜냐면 비밀을 지켜야하지만.. 너무 딱하기 떄문이죠.

간수가 말합니다 " 스코필드는 죽는다. "


여기서부터가 문제입니다.

1) 그 말을 들은 티백의 생각 : 아싸~ 그럼 남은 두명중에 한명이 사는거니깐 내가 살아날 확률이 1/2로 늘었다!!

2) 말을 해준 뒤 간수 생각 : 흠.. 어차피 스코필드와 버로우스가 동시에 살일은 없잖아? 둘중에 한명이 죽는건 명백한 사실인데 누군지만 가르쳐 줬으니 확률에 변화는 없군. 난 비밀을 지켰어. 티백이 죽을확률은 여전히 2/3이야.


누구말이 맞을까요?
</blockquote>

문제를 좀 더 명확하게 하기 위해서는 몇가지 언급을 더 해야 할 것 같은데,
* 일단 간수는 거짓말을 하지 않는다는 가정이 있을테고
* 본문에서 언급한 것처럼 간수는 질문한 죄수가 자신이 살 확률을 계산하는 데 도움이 되는 추가정보를 주면 안 되므로, "***가 산다"라는 대답은 할 리가 없습니다.
* 질문한 사람에게 "미안한데 너는 죽어"라고 대답할 리도 없겠죠. 즉 항상 질문자를 제외한 다른 죄수 중에서 죽을 사람 한 명의 이름을 댈 거고
** 만약에 질문자가 살아남게 되어 있다면 나머지 두 죄수 중 한 명의 이름만을 댈 텐데, 이 때는 간수는 랜덤하게(동전을 던져서 결정한다든가) 누구의 이름을 댈 지 결정합니다.

자 어쨌거나, 저 문제에 대한 답은...

.

.

.


<memo(답)>
티백에게는 참으로 안타까운 일이지만, 티백이 살아남을 확률은 여전히 1/3입니다.
</memo>

<memo(해설)>
발생할 수 있는 사건의 가짓수는 다음 여섯가지 입니다. 각각 1/6의 확률로 발생
* <color(green,1) 티백이 살게 되고, 간수는 "스코필드가 죽는다"고 대답)>
* 2) 티백이 살게 되고, 간수는 "버로우스가 죽는다"고 대답
* <color(green,3) 버로우스가 살게 되고, 간수는 "스코필드가 죽는다"고 대답)>
* <color(green,4) 버로우스가 살게 되고, 간수는 "티백이 죽는다"고...대답을 차마 할 수 없어서 "스코필드가 죽는다"고 대답)>
* 5) 스코필드가 살게 되고, 간수는 "버로우스가 죽는다"고 대답
* 6) 스코필드가 살게 되고, 간수는 "티백이 죽는다"고...대답을 차마 할 수 없어서 "버로우스가 죽는다"고 대답

즉, "스코필드가 죽는다"는 답을 들었다면, 해당되는 경우는 1), 3), 4) 세 가지. 그 중에 티백이 사는 경우는 1) 한 가지, 죽는 경우는 3), 4) 두 가지. 따라서 살 확률은 1/3

위의 3)과4), 5)와6)은 간수가 같은 대답을 하는데, 이걸 합쳐서 한 가지의 경우로 생각하게 되면 함정에 빠지는 거죠.

----

단 한번 발생하는 사형이라서 더욱 헷갈릴 수 있는데, 여러번 반복되는 경우로 바꿔볼 수도 있습니다.
<blockquote>
* 900일 동안, 매일 세 명의 죄수 중 두 명에게 곤장을 때린다 (-_-;)
* 매일 아침 주지사가 주사위를 던져서 세 명 중 곤장을 면할 사람을 한 명 뽑고, 간수에게 알려준다.
* 티백은 매일 아침마다 "간수님 저 오늘 곤장 맞나요?ㅠ,.ㅠ"라고 묻는다
* 간수는 티백을 제외한 두 죄수 중에 곤장을 맞을 사람 한 명의 이름을 알려준다. 만약 둘 다 맞을 거라면 동전을 던져서 둘 중 한 명을 선택해서 그 이름을 알려준다.
</blockquote>

이러면 총 900일 중에서... (물론 현실에서는 확률에 딱 맞춰 날 수가 나눠지지 않겠습니다만)
* 300일은 티백이 곤장을 면할 텐데
** 그 중 150일은 "스코필드가 맞는다"라는 대답을 들을 것이고 -- (1)
** 그 중 150일은 "버로우스가 맞는다"라는 대답을 듣겠죠
* 300일은 버로우스가 곤장을 면할 텐데
** 이 300일 전부 "스코필드가 맞는다"라는 대답을 들을 겁니다. -- (2)
* 나머지 300일은 스코필드가 곤장을 면할 것이고
** 이 300일 동안에는 "버로우스가 맞는다"라는 대답을 듣겠죠.

: "스코필드가 맞는다"라는 대답은 (1)과 (2) 도합 450일 동안 들을 것이고, 그 중 티백이 곤장을 면하는 날은 150일, 즉 전체의 1/3밖에 되지 않습니다.

----

몬티홀 문제, [[/퍼즐-바꿀까말까]]와의 관계는...

저기 클리앙 게시물에서 [[주인장]]과 몇몇이 리플로 의견을 주고받을 때는, "몬티홀과는 다르다"라고 결론을 내렸는데, 아무래도 같다고 생각하는 게 맞네요.
* 문 세 개에 세 죄수의 이름을 쓴 후에, 누가 살아남을 지 맞추는 문제
* 티백은 자신의 이름이 쓰여진 문을 처음에 선택
* 간수는 "스코필드"문을 열어서 여기에는 상품이 없음(즉 살 수 없음)을 알려 줌
* "티백" 문 뒤에 상품이 있을 확률, 즉 티백이 살 확률은? '''여전히 1/3'''

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여기까지 쭉 생각해놨는데, 방금 쓱 살펴보니 아니나 다를까 위키피디아에 떡하니 있군요. :-)
* Wikipedia:Three_Prisoners_problem
** 조건부 확률 공식을 사용하여 푼 부분을 빼고 나면, 위에 적은 설명 그대롭니다. 사형 대신 "매일 반복되는 고문"으로 바꾸어 생각한 것까지도 나와 있네요.
** 몬티홀 문제와는 "mathematically equivalent", "수학적으로 동등"하다고 하네요. 역시 같은 문제인 게 맞습니다. 제일 마지막에 티백에게 "버로우스와 너의 운명을 바꿀 수 있는 기회를 줄게, 바꿀래?"라고 묻고 티백이 자신의 운명을 그대로 받아들일지 버로우스의 운명과 서로 바꿀지를 결정하게 한다면, 몬티홀에서 도전자가 자신의 선택을 바꿀 기회를 얻는 부분과 똑같아진다...고도 적혀 있네요.
</memo>

<mysign([[Raymundo]],2009-4-7 5:40 pm)>

===== Comments & Trackbacks =====

프리즌 브레이크 안보셨나보군요. 주1 눌렀다가 예상과 다른 내용에 잠시 당황을... <mysign(izlei,2009-4-7 7:41 pm)>

: 네 전혀;;;; <mysign([[Raymundo]],2009-4-7 8:04 pm)>
<longcomments(100)>
<trackbackreceived>
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[[주인장분류]]
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